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Confronta due classi

Una classe contiene l'altra? Sono diverse? Scegli una coppia per vedere che cosa sappiamo e che cosa resta aperto.

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}

inclusione dimostrata, uguaglianza aperta

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ è contenuta in $\Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}$ . Non sappiamo se le due classi siano uguali.

Perché: le risposte da dare all'esame

\Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: solo se

\Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

Si sa che

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}

: l'inclusione richiesta varrebbe solo se le due classi fossero uguali, e non si sa.

Ne seguirebbe:

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Π2}{\Pi_2^{\mathrm{P}}} = \Sigma_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}}$

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

: PH collasserebbe al primo livello (

\htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}

SÌ

NP ∩ coNP

\subseteq

\subseteq

\subseteq

Δ₂^P

\subseteq

Σ₂^P

\subseteq

Π_i^P

Se sia stretta non si sa.

Perché ogni passo

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}$ : per definizione di intersezione
$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \subseteq \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}}$ : si prende $L_2 = \Sigma^*$ (tutte le stringhe), che sta in coNP (appunti Lez. 9 §1)
$\htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} \subseteq \htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}}$ : bastano due domande all'oracolo NP: $x \in L_1$ ? e $x \in L_2$ ? (dispensa cap. 16: «Obviously $\htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} \subseteq \htmlData{term=P}{\mathrm{P}}^{\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}}$ »)
$\htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}} \subseteq \htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}}$ : una macchina deterministica è un caso particolare di nondeterministica (dispensa cap. 17; appunti Lez. 9 §3)
$\htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}} \subseteq \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}$ : ogni piano contiene i piani precedenti (dispensa cap. 17)

\Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: non si sa

nessuna delle due inclusioni mancanti è dimostrata o esclusa.

Le risposte sono calcolate dalle inclusioni e dalle separazioni della mappa, con le regole del corso: passaggio ai complementi, $\htmlData{term=R}{\mathrm{R}} = \htmlData{term=RE}{\mathrm{RE}} \cap \htmlData{term=coRE}{\mathrm{coRE}}$ , collasso di PH (Teorema 17.9), padding (Teorema 20.1). "Solo se" vuol dire che la risposta dipende da una questione aperta.

Definizioni e problemi delle due classi

Aspetto	Π_i^P	NP ∩ coNP
Che cos'è	Un piano qualsiasi di PH sopra il secondo, lato $\forall$	$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ : problemi con una prova corta in entrambi i versi
Forma della risposta sì	i blocchi $\forall\exists\forall\ldots$	sia $\exists y\, R(x,y)$ sia $\forall y\, R'(x,y)$ , con due relazioni diverse
Chiusa per complemento	è la co-classe di $\Sigma_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}$	sì (l'intersezione di una classe con la sua co-classe)
Problemi completi	$\mathrm{co\text{-}QSAT}_i$ è $\Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}}$ -completo.	Non se ne conoscono: $\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ non è una classe "sintattica" come DP.
Fonti	dispensa cap. 17; appunti Lez. 9 §3, §5	dispensa cap. 14; appunti Lez. 4 §7, Lez. 8 §8, Lez. 9 §1