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Confronta due classi

Una classe contiene l'altra? Sono diverse? Scegli una coppia per vedere che cosa sappiamo e che cosa resta aperto.

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}}

inclusione dimostrata, uguaglianza aperta

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ è contenuta in DP. Non sappiamo se le due classi siano uguali.

Una precisazione su questa coppia

L'errore classico. In

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

si intersecano due classi: il problema stesso sta in NP e in coNP, e ogni istanza ha una prova corta (certificato o squalifica). In DP si intersecano due linguaggi: l'istanza deve superare due controlli, uno NP e uno coNP. Per questo

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

sta sotto NP e coNP, mentre DP sta sopra entrambe.

Perché: le risposte da dare all'esame

\htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: solo se

\htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

Si sa che

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}}

: l'inclusione richiesta varrebbe solo se le due classi fossero uguali, e non si sa.

Ne seguirebbe:

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Π2}{\Pi_2^{\mathrm{P}}} = \Sigma_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}}$

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

: PH collasserebbe al primo livello (

\htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}}

SÌ

NP ∩ coNP

\subseteq

\subseteq

Se sia stretta non si sa.

Perché ogni passo

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}$ : per definizione di intersezione
$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \subseteq \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}}$ : si prende $L_2 = \Sigma^*$ (tutte le stringhe), che sta in coNP (appunti Lez. 9 §1)

\htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: non si sa

nessuna delle due inclusioni mancanti è dimostrata o esclusa.

Le risposte sono calcolate dalle inclusioni e dalle separazioni della mappa, con le regole del corso: passaggio ai complementi, $\htmlData{term=R}{\mathrm{R}} = \htmlData{term=RE}{\mathrm{RE}} \cap \htmlData{term=coRE}{\mathrm{coRE}}$ , collasso di PH (Teorema 17.9), padding (Teorema 20.1). "Solo se" vuol dire che la risposta dipende da una questione aperta.

Definizioni e problemi delle due classi

Aspetto	DP	NP ∩ coNP
Che cos'è	Intersezione di un problema NP e di un problema coNP	$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ : problemi con una prova corta in entrambi i versi
Forma della risposta sì	$\exists y\, R_1(x,y)$ e insieme $\forall z\, R_2(x,z)$	sia $\exists y\, R(x,y)$ sia $\forall y\, R'(x,y)$ , con due relazioni diverse
Chiusa per complemento	non si sa (il complemento di $L_1 \cap L_2$ è un'unione)	sì (l'intersezione di una classe con la sua co-classe)
Problemi completi	SAT-UNSAT ed EXACT TSP sono DP-completi.	Non se ne conoscono: $\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ non è una classe "sintattica" come DP.
Fonti	dispensa cap. 15–16; slide Lez. 9; appunti Lez. 9 §1–§2	dispensa cap. 14; appunti Lez. 4 §7, Lez. 8 §8, Lez. 9 §1