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Confronta due classi

Una classe contiene l'altra? Sono diverse? Scegli una coppia per vedere che cosa sappiamo e che cosa resta aperto.

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \mathrel{?} \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

rapporto non noto

Non conosciamo un’inclusione tra queste due classi. Questo non dimostra che siano diverse.

Una precisazione su questa coppia

NP e coNP hanno una parte in comune, che contiene P. Non si sa se siano uguali. Se lo fossero, PH collasserebbe al primo livello; se un problema NP-completo stesse in coNP, sarebbero uguali (Prop. D).

Perché: le risposte da dare all'esame

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \subseteq \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: solo se

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \subseteq \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

Né dimostrata né esclusa: è una questione aperta.

Ne seguirebbe:

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Π2}{\Pi_2^{\mathrm{P}}} = \Sigma_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}}$

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

: PH collasserebbe al primo livello (

\htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

\htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

altro: solo se

\htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} \subseteq \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

Né dimostrata né esclusa: è una questione aperta.

Ne seguirebbe:

$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} \cap \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=DP}{\mathrm{DP}} = \htmlData{term=Δ2}{\Delta_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Σ2}{\Sigma_2^{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=Π2}{\Pi_2^{\mathrm{P}}} = \Sigma_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \Pi_i^{\htmlData{term=P}{\mathrm{P}}} = \htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}}$

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

: PH collasserebbe al primo livello (

\htmlData{term=PH}{\mathrm{PH}} = \htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}}

\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}

altro: non si sa

nessuna delle due inclusioni mancanti è dimostrata o esclusa.

Le risposte sono calcolate dalle inclusioni e dalle separazioni della mappa, con le regole del corso: passaggio ai complementi, $\htmlData{term=R}{\mathrm{R}} = \htmlData{term=RE}{\mathrm{RE}} \cap \htmlData{term=coRE}{\mathrm{coRE}}$ , collasso di PH (Teorema 17.9), padding (Teorema 20.1). "Solo se" vuol dire che la risposta dipende da una questione aperta.

Definizioni e problemi delle due classi

Aspetto	NP	coNP
Che cos'è	Tempo polinomiale nondeterministico	Complementi dei problemi NP
Forma della risposta sì	$\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=Σ1}{\Sigma_1^{\mathrm{P}}}$ : $\exists y\, R(x,y)$	$\htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}} = \htmlData{term=Π1}{\Pi_1^{\mathrm{P}}}$ : $\forall y\, R(x,y)$
Chiusa per complemento	non si sa ( $\htmlData{term=NP}{\mathrm{NP}} = \htmlData{term=coNP}{\mathrm{coNP}}$ è aperto)	è la co-classe di NP
Problemi completi	$\htmlData{term=problem:SAT}{\mathrm{SAT}} = \htmlData{term=problem:QSAT}{\mathrm{QSAT}}_1$ (Cook-Levin), 3-SAT, CLIQUE, INDEPENDENT SET, NODE COVER, HAMILTON PATH, TSP(D), 3-COLORING, KNAPSACK e gli altri della Lez. 8.	VALIDITY, UNSAT ( $= \mathrm{co\text{-}QSAT}_1$ ), i complementi di HAMILTON PATH e TSP(D): coNP-completi (Prop. B: il complemento di un NP-completo è coNP-completo).
Fonti	dispensa cap. 3, 5, 12–13, 22; appunti Lez. 3, 7, 8	dispensa cap. 6, 14, 22; slide Lez. 4; appunti Lez. 4 §7, Lez. 8 §8